把具有共同特征的对象放在一起形成的整体，就是集合。
| 判断式 | 结论 | 判断式 | 结论 |
|---|---|---|---|
| $1\in A$ | ✅ 正确 | $2\in A$ | ❌ 错误 |
| $7\notin A$ | ❌ 错误 | 先把元素列清：$A=\{1,3,5,7\}$ | |
| 性质 | 含义 | 反例 / 要点 |
|---|---|---|
| 确定性 | 对象要么属于、要么不属于，无中间态 | 「高个子的人」不能成集合（无标准） |
| 互异性 | 元素互不相同，自动去重 | $\{1,2,2,3\}\to\{1,2,3\}$ |
| 无序性 | 元素无顺序之分 | $\{1,2,3\}=\{3,2,1\}$ |
| 符号 | 名称 | 记忆 |
|---|---|---|
| $\mathbb{N}$ | 自然数集 | N·natural |
| $\mathbb{N}^*$ | 正整数集 | 从 1 起 |
| $\mathbb{Z}$ | 整数集 | Z·整 |
| $\mathbb{Q}$ | 有理数集 | Q·quotient |
| $\mathbb{R}$ | 实数集 | R·real |
| 关系 | 定义 | 记号 | 直观 |
|---|---|---|---|
| 子集 | A 的元素都在 B 中 | $A\subseteq B$ | A 是 B 的一部分 |
| 真子集 | $A\subseteq B$ 且 $A\neq B$ | $A\subsetneq B$ | B 至少多一个元素 |
| 相等 | $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ | $A=B$ | 元素完全相同 |
理由：每个元素「进 / 不进」子集，共 $n$ 个二选一 → $2\times2\times\cdots\times2=2^n$
集合 $S=\{a,b,c\}$ 有 $3$ 个元素 → 子集共 $2^3=8$ 个：
| 元素个数 | 子集 | 数量 |
|---|---|---|
| 0 | $\emptyset$ | 1 |
| 1 | $\{a\},\{b\},\{c\}$ | 3 |
| 2 | $\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}$ | 3 |
| 3 | $\{a,b,c\}$ | 1 |
| 条件 | 关系 |
|---|---|
| $x>2$ 与 $x>1$ | 充分不必要 |
| $x^2=1$ 与 $x=1$ | 必要不充分 |
| $x=2$ 与 $x^2=4$ | 充分不必要 |
| 类型 | 形式 | 示例（x>2 ⇒ x>1） |
|---|---|---|
| 原命题 | 若 p，则 q | 若 $x>2$，则 $x>1$ |
| 逆命题 | 若 q，则 p | 若 $x>1$，则 $x>2$ |
| 否命题 | 若非 p，则非 q | 若 $x\le 2$，则 $x\le 1$ |
| 逆否命题 | 若非 q，则非 p | 若 $x\le 1$，则 $x\le 2$ |
| 集合运算 | 逻辑运算 | 自然语言 |
|---|---|---|
| $A\cap B$ | $p\land q$ | 既…又… |
| $A\cup B$ | $p\lor q$ | 或…或… |
| $\complement_U A$ | $\neg p$ | 非… |
已知 $A=\{x\mid -2<x<3\}$，$B=\{x\mid x<-1\ \text{ 或 }\ x>4\}$，求 $A\cap B$。
| 序号 | 易错点 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 1 | 空集的特殊性 | $A\cap B=\emptyset$ 不代表 A、B 都空；含参数题先讨论空集 |
| 2 | 补集的全集 | 算补集前先确认全集 U（常隐含为 $\mathbb{R}$） |
| 3 | 充分必要条件 | 严格用「小范围推大范围」；看 $p\Rightarrow q$ 而非反过来 |
| 维度 | 说明 |
|---|---|
| 分值占比 | 5–10 分（约 3%–7%），常在前 3 题 |
| 难度级别 | 基础 / 中档，极少压轴 |
| 考查形式 | 单一考点，或与不等式、函数定义域结合 |