高 中 数 学 · 必 修 一 · 第 二 章

不等式复习讲解

性质 · 三个二次 · 基本不等式 · 拓展专题 · 数学思想
高一同步巩固 · 高考一轮复习通用
重点 · 易错点 · 题型归纳 · 深度理解
总览

复习目标 · 知识地图

1不等式性质
八大性质 · 三大易错点
2三个二次
函数 · 方程 · 不等式
3基本不等式
一正二定三相等
4拓展专题
绝对值 · 分式 · 高次 · 柯西
5数学思想
数形结合 · 转化 · 分类
6高考考法
融合题 · 得分基本盘
不等式 不等式性质 三个二次 基本不等式 拓展专题 传递 · 可加 · 可乘 同向相加相乘 二次函数 方程 · 不等式 a²+b²≥2ab 均值 · 求最值 绝对值 · 分式 高次穿针 · 柯西
不等式全章知识地图
一

不等式是什么 · 从等式的亲戚说起

方程求的是某一个确定的值；不等式求的是一整个范围。

语言描述数学表达
$a$ 大于 $b$$a > b$
$a$ 大于或等于 $b$$a \geq b$
$a$ 小于 $b$$a < b$
$a$ 小于或等于 $b$$a \leq b$
$a$ 不等于 $b$$a \neq b$
方程：$x+3=5\ \Rightarrow\ x=2$（一个数）
不等式：$x+3>5\ \Rightarrow\ x>2$（无穷多个数）
💡 真实世界多是比较大小，不等式是更常用的语言。
二

不等式的八大核心性质

序号性质内容（$a,b,c$ 为实数）
1对称性$a>b \Longleftrightarrow b<a$
2传递性$a>b,\ b>c\ \Rightarrow\ a>c$
3可加性$a>b\ \Rightarrow\ a+c>b+c$
4可乘性$a>b,\ c>0\Rightarrow ac>bc$；$c<0\Rightarrow ac<bc$
5同向相加$a>b,\ c>d\ \Rightarrow\ a+c>b+d$
6同向相乘$a>b>0,\ c>d>0\ \Rightarrow\ ac>bd$
7乘方$a>b>0,\ n\in\mathbb{N}^*\ \Rightarrow\ a^n>b^n$
8开方$a>b>0,\ n\in\mathbb{N}^*\ \Rightarrow\ \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$
二

⚠️ 三大易错点（务必背下）

序号易错点正确做法
1乘（除）负数变号$a>b\ \Rightarrow\ ac<bc\ (c<0)$，解不等式头号翻车点
2同向相乘要正数$a>b,\ c>d$ 有负数时不能直接相乘
3倒数不等式变号$a>b>0\ \Rightarrow\ \dfrac1a<\dfrac1b$，分母越大倒数越小
💡 三条易错点，每次做题前先扫一眼，比临时推导更稳。
二

比较大小万能钥匙 · 作差比较法

$A-B>0\Rightarrow A>B$；$\ A-B=0\Rightarrow A=B$；$\ A-B<0\Rightarrow A<B$
例题1：比较 $(a+3)(a-5)$ 与 $(a+2)(a-4)$ 的大小
$(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a^2-2a-15)-(a^2-2a-8)=-7<0$
💡 所以 $(a+3)(a-5) < (a+2)(a-4)$。作差判断符号，是最本质的方法。
三

三个二次的关系

三个二次关系
二次函数 ⇄ 方程 ⇄ 不等式，同一件事的三个侧面
📌 方程的解 = 抛物线与 x 轴交点横坐标；大于 0 = 轴上方；小于 0 = 轴下方。
三

图像法解一元二次不等式

判别式图像位置$ax^2+bx+c>0$$ax^2+bx+c<0$
$\Delta>0$
两根 $x_1<x_2$		交于两点$x<x_1$ 或 $x>x_2$$x_1<x<x_2$
$\Delta=0$
一根 $x_0$		相切$x\neq x_0$无解 $\emptyset$
$\Delta<0$
无实根		全在轴上方全体实数 $\mathbb{R}$无解 $\emptyset$
口诀（前提 $a>0$）：大于取两边，小于取中间
三

数形结合 · 三种判别式对照

一元二次图像法
△>0 取两边/中间 · △=0 切点 · △<0 全体实数
三

解题标准流程

解题标准流程
化正 → 求根 → 按口诀写解 → 写成区间
三

例题2 · $x^2-3x-4>0$

解：因式分解 $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$

两根 $x_1=-1,\ x_2=4$，$a=1>0$ 开口向上，大于取两边
$x<-1\ \text{或}\ x>4\ \Rightarrow\ (-\infty,-1)\cup(4,+\infty)$
三

例题3 · $-2x^2+3x+2\leq 0$【动手算】

✋
暂停推导

自己按流程算一算：先化正变号，再因式分解、求根、写解集。

解：两边同乘 $-1$ 变号 → $2x^2-3x-2\geq 0$

$(2x+1)(x-2)\geq 0$，两根 $x_1=-\dfrac12,\ x_2=2$，取两边
$x\leq-\dfrac12\ \text{或}\ x\geq 2\ \Rightarrow\ \left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup[2,+\infty)$
三

恒成立问题 · 求参数范围

$ax^2+bx+c>0$ 恒成立 $\Longleftrightarrow a>0$ 且 $\Delta<0$
$ax^2+bx+c<0$ 恒成立 $\Longleftrightarrow a<0$ 且 $\Delta<0$
例题4：$x^2-2x+k>0$ 对 $\forall x\in\mathbb{R}$ 恒成立，求 $k$
$a=1>0$，$\Delta=4-4k<0\ \Rightarrow\ k>1$
⚠️ 二次项系数含参数（如 $mx^2+2x+1>0$）要分类讨论 $m=0$ 与 $m\neq 0$。
四

基本不等式 · 从平方非负出发

$(a-b)^2\geq 0\ \Rightarrow\ \boxed{a^2+b^2\geq 2ab}\ (a,b\in\mathbb{R})$，当 $a=b$ 取等
$\boxed{\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}}\ (a,b>0)$，当 $a=b$ 取等
💡 等价变形：$a+b\geq 2\sqrt{ab}$；$ab\leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$；$ab\leq\dfrac{a^2+b^2}{2}$。
四

几何意义 · 数形结合记忆

基本不等式几何意义
半径 = 算术平均数 $\frac{a+b}{2}$，垂线段 = 几何平均数 $\sqrt{ab}$
📐 斜边（半径）不小于直角边（垂线），即 $\dfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当 $a=b$ 取等。
四

三字诀：一正 · 二定 · 三相等

一正：两数都为正　二定：和有定求积最大 / 积有定求和最小　三相等：等号能取到
✋
暂停推导

例题5：已知 $x>0$，求 $x+\dfrac1x$ 的最小值，自己先算。

例5：$x+\dfrac1x\geq 2\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=2$，当 $x=1$ 取等，最小值 $2$
例6：$x(1-x)\leq\left(\dfrac{x+1-x}{2}\right)^2=\dfrac14$，当 $x=\dfrac12$ 取等，最大值 $\dfrac14$
四

技巧一 · 「1」的代换

例题7：$x,y>0$，$x+y=1$，求 $\dfrac1x+\dfrac4y$ 的最小值
$\dfrac1x+\dfrac4y=\left(\dfrac1x+\dfrac4y\right)(x+y)=5+\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\geq 5+4=9$
💡 当 $\dfrac{y}{x}=\dfrac{4x}{y}$ 即 $y=2x$，结合 $x+y=1$ 得 $x=\dfrac13,y=\dfrac23$ 取等，最小值 $9$。
四

技巧二 · 配凑固定结构

例题8：已知 $x>1$，求 $y=x+\dfrac{1}{x-1}$ 的最小值
$y=(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+1\geq 2\sqrt{(x-1)\cdot\dfrac{1}{x-1}}+1=3$
💡 当 $x-1=\dfrac{1}{x-1}$ 即 $x=2$ 时取等，最小值为 $3$。
五

绝对值不等式

$|x|<a\Longleftrightarrow -a<x<a$
$|x|>a\Longleftrightarrow x<-a\ \text{或}\ x>a$
例题9：$|2x-1|\leq 3$
$-3\leq 2x-1\leq 3\ \Rightarrow\ -1\leq x\leq 2$
绝对值距离
$|x|$ = 数轴上点 $x$ 到原点的距离
💡 三角不等式：$\big||a|-|b|\big|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$
五

零点分段法

例题10：$|x-1|+|x+3|\geq 4$，零点 $x=-3,\ 1$
$x<-3$：$-2x-2\geq 4\ \Rightarrow\ x\leq -3$
$-3\leq x<1$：$4\geq 4$，恒成立
$x\geq 1$：$2x+2\geq 4\ \Rightarrow\ x\geq 1$
💡 三段合并，解集为 $\mathbb{R}$（全体实数）。
五

分式不等式

$\dfrac{x-a}{x-b}>0\Longleftrightarrow (x-a)(x-b)>0\ \text{且}\ x\neq b$
例题11：解 $\dfrac{x-2}{x+1}\leq 0$
$\begin{cases}(x-2)(x+1)\leq 0\\ x+1\neq 0\end{cases}\ \Rightarrow\ -1<x\leq 2$
💡 解集 $(-1,\,2]$，注意分母 $x+1\neq 0$，左端开区间。
五

高次不等式 · 穿针引线法

穿针引线
奇穿偶回 · 自右上向左 · 上方为 >0
例题12：$(x-1)(x+2)(x-3)>0$
三根 $-2,\ 1,\ 3$
自右上穿，取轴上方
💡 解集 $(-2,1)\cup(3,+\infty)$。
五

柯西不等式 · 高维利器

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$
🎯 当 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$ 时取等号。求分式最值时威力巨大。
💡 衔接：更系统的配凑、权方和、待定系数等套路，见配套《柯西不等式求最值》笔记。
六

数学思想深度解析

思想在不等式中的体现
数形结合二次→抛物线，均值→半圆，绝对值→数轴距离
转化与化归分式→整式，高次→穿针，绝对值→分段，最值→定值
分类讨论参数不明（二次项、判别式、区间）时分类，不重不漏
函数与方程不等式常挂靠函数图像解决
复 习 通 关 清 单

你能独立做到吗？

☑ 八大性质 + 三大易错点（乘负变号），记牢
☑ 三个二次：图像法 + 口诀「大于取两边、小于取中间」
☑ 基本不等式：一正二定三相等，四种结构一眼识别
☑ 绝对值 / 分式 / 高次穿针，三种解法分得清
☑ 数学思想：数形结合 · 转化 · 分类讨论 · 函数方程
真正吃透不等式，函数、导数都会顺很多。加油！
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